KALKULUS 1 BAB 0 Persiapan

BAB 0 Persiapan

0.1  Bilangan Real, Estimasi, dan Logika

Bilangan Bulat dan Rasional adalah bilangan paling sederhana diantara semuanya adalah Bilangan Asli 1, 2, 3, 4, 5, ...

Jika kita menyertakan negatif dan Bilangan Asli dan nol maka kita memperoleh Bilangan Bulat ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Bilangan Rasional adalah Bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m/n, dengan m dan n bilangan bulat serta n≠0

Bilangan Irasional adalah bilangan yang memakai tanda √

Bilangan Real

Tinjaulah semua bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut dan nol. Bilangan-bilangan ini disebut Bilangan Real.

Sistem bilangan real masih dapat diperluas lagi menjadi Bilangan Kompleks. Sistem bilangan ini berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan real dan i = √-1.

Desimal Berulang dan Tak Berulang Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal, karena sesuai definisi bilangan rasional selalu dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat; jika kita membagi pembilang dengan penyebut, kita memperoleh desimal. Contoh : ½ = 0,5

0.2  Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari dengan persamaan, yang himpunan pemecahannya umumnya terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga, himpunan pemecahan suatu pertidaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan interval bilangan atau dalam beberapa kasus,  gabungan dari interval-interval demikian. Pertidaksamaan a< x < b, yang sebenarnya adalah dua pertidaksamaan, a < x dan x < b, menunjukan interval terbuka. Sebaliknya pertidaksamaan a ≤ x ≤ b berarti interval tertutup.

Contoh : Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2

Penyelesaian : 2x – 7 < 4x – 2

                              2x < 4x + 5

-2x < 5

x > -5/2

0.3  Sistem Koordinat Rektanguler

Dalam sebuah bidang, gambarkanlah dua garis real, satu mendatar dan satu tegak sedemikian rupa sehingga keduanya berpotongan pada titik-titik nol dari kedua garis tersebut. Dua garis tersebut dinamakan sumbu-sumbu koordinat. Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat daerah disebut kuadran-kuadran.

Rumus Jarak didasarkan pada teorema phytagoras, yang mengatakan jika a dan b adalah panjang dari kedua kaki sebuah segitiga siku siku dan c adalah sisi miringnya maka : a²+b²=c²

Garis lurus Misalnya dari titik A ke titik B terdapat suatu kenaikan (perubahan vertikal) sebesar 2 satuan dan suatu majuan (perubahan horizontal) sebesar 5 satuan. Dikatakan bahwa garis itu mempunyai kemiringan 2/5. Definisi Kemiringan (slope) m dari garis itu sebagai :

0.4  Grafik Persamaan

Prosedur menggambar grafik :

Langkah 1 : Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.

Langkah 2 : Plotlah titik-titik tersebut pada bidang.

Langkah 3 : Hubungkan tititk-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus

0.5  Fungsi

Definisi : Sebuah fungsi fadalah suatu aturan korespondesi yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal (domain), dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range) fungsi.

Notasi fungsi untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (untuk g atau F).

0.6  Operasi Pada Fungsi

Rumus :   1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

                 2. (f – g)(x) = f(x) – g(x)

                 3. (f . g)(x) = f(x) . g(x)

Jika f bekerja pada x untuk menghasikan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan (g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah mengkomposisikan g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi fungsi.

Katalog persial fungsi : sebuah fungsi berbentuk f(x) = k, dengan k konstanta (bilangan real) disebut fungsi konstanta. f(x) = x disebut fungsi identitas. f(x) = ax + b adalah fungsi derajat satu atau fungsi linear, dan f(x) = ax² + bx + c adalah fungsi derajat dua atau fungsi kuadrat.

     Fungsi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas melalui 5 operasi yaitu penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar.

0.7  Fungsi Trigonometri

Definisi : Fungsi Sinus dan Kosinus : misalkan t bilangan real yang menentukan titik P(x,y) maka sin t = y dan cos t = x

Periode dan Amplitudo Fungsi Trigonometri : fungsi f dikatakan Periodik jika terdapat satu bilangan p sedemikian rupa sehingga f (x + P) = f(x)untuk semua x dalam daerah asal f. Bilangan positif terkecil p yang demikian disebut periodef.

Empat Fungsi Trigonometri :           

                                             

Identitas Trigonometri :

-          Identitas ganjil-genap

sin (-x) = -sin x

cos (-x) = cos x

cos (-x) = -tan x

-          Identitas Pytagoras

sin²x + cos²x = 1

1 + tan²x = sec²x

1 + cot²x = csc²x

-          Identitas penambahan

sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y – sin x sin y

tan (x+y) =

-          Identitas sudut ganda

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x= cos²x – sin2x

           = 2 cos²x – 1

           = 1 – 2 sin²x

-          Identitas jumlah

sin x + sin y = 2 sin ) cos )

cos x + cos y = 2 cos ) cos )

-          Identitas hasil kali

sin x sin y = ½ [cos(x+y) – cos(x-y)]

cos x cos y = -½ [cos(x+y) + cos(x-y)]

sin x cos y = = -½ [sin(x+y) + sin(x-y)]