Kalkulus 1 Bab 3 Aplikasi Turunan

BAB 3 Aplikasi Turunan

3.1 Maksimum dan Minimum

Definisi : Misalkan S, daerah asal f, mengandung titik c. Dinyatakan bahwa :

(i)                             f(c) adalah nilai maksimum f  pada S jika f(c) ≥  f(x) untuk semua x di S;

(ii)                           f(c) adalah nilai minimum f  pada S f(c) ≤  f(x) untuk semua x di S;

(iii)                         f(c) adalah nilai ekstrimf  pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

(iv)                         fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif;

Teorema A Teorema Keberadaan Maks-Min

Jika f  kontinu pada interval tertutup [a, b]. Maka f  mencapai nilai maksimum dan nilai minimum disana.

Teorema B Teorema Titik Kritis

Misalkan f  didefinisikan pada interval. I  yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah nerupa satu titik kritis; dengan kata lain, c adalah salah satu dari

(i)                             titik ujung dari I

(ii)                           titik stasioner dari f; yakni titik dimana f’(c) = 0; atau

(iii)                         titik singular dari f; yakni titik dimana f’(c) tidak ada.

3.2 Kemotongan dan Kecekungan 

Definisi : Misalkan f  terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun).Kita katakan bahwa :

(i)                             f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I. x₁ <x₂→ f(x₁ ) <f (x₂₎

(ii)                           f turunpada I jika, untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I. x₁ < x₂ → f(x₁ ) >f (x₂₎

(iii)                         f monoton murnipada I jikaf naik pada I atau turun pada I.

Teorema A Teorema Kemonotongan 
Misalkan f kontinu pada interval I dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I.

(i)                             Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam I , maka f naikpada I.

(ii)                           Jika f’(x) <0 untuk semua titik dalam I , maka f  turunpada I.

 
Definisi : Misalkan f  terdiferensiasi pada interval terbuka I. Kita katakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas  pada I  jika f’ menaik pada I dan kita katakan bahwa f  cekung ke bawah pada I jika f’ menurun pada I. 

Teorema B Teorema Kecekungan

Misalkan f  terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka I.

(i)                             Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.

(ii)                           Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.

3.3 Ekstrim Lokal dan Ekstrim pada Interval Terbuka

      Definisi Misalkan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa :

(i)                             f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai maksimum f  pada (a, b) ∩ S;

(ii)                           f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai minimumf  pada (a, b) ∩ S;

(iii)                         f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Teorema AUji Turunan Pertama

Misalkan f  kontinu pada interval terbuka (a, b) yang memuat sebuah titik kritis c.

(i)                             Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii)                           Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x)> 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

(iii)                         Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B Uji Turunan Kedua

Misalkan f’  dan f’’ ada pada setiap titik interval terbuka (a, b) yang memuat c, dapat misalkam f’(c) = 0

(i)                             Jika f’(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii)                           Jika f’(c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

3.5 Penggambaran Grafik Fungsi Menggunakan Kalkulus

Fungsi Polinmial polinomial derajat 1 atau 2 mudah digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya sedang, misalnya 3 sampai 6, kita akan sangat terbantu oleh alat-alat dari kalkulus

Fungsi Rasional Fungsi Rasional, yang merupakan hasil bagi dua fungsi polinomial, agak lebih rumit untuk digambarkan grafiknya dibanding polinomial. Khususnya, kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dekat tempat penyebut akan bernilai nol.

Fungsi yang Melibatkan Akar Terdapat beraneka ragam fungsi yang melibatkan akar.

Ringkasan Metode Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu .

Langkah 1 : Analisis praKalkulus,

(i)                             Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan;

(ii)                           Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi itu genap atau ganji);

(iii)                         Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

Langkah 2 : Analisis Kalkulus

(i)                             Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan membantu mengetahui tempat-tempat grafik menaik dan menurun;

(ii)                           Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal.

(iii)                         Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung ke bawah dan untuk mengalokasikan titik balik.

(iv)                         Cari asimtot-asimtot

3.6 Teorema Nilai Rataan Untuk Turunan

Teorema A Teorema Nilai Rataan untuk Turunan

Jika f  kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensiasikan pada titik dalamnya (a, b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a, b) dimana atau setara denganf(b) – f(a) = f’(c) (b – a)

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian rupa sehingga F’(x) = G’(x) + c untuk semua x dalam (a, b)

Bukti Misalkan H’(x) = F’(x) – G’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b). Pilih X₁sebagai suatu titik (tetap) dalam (a, b) dan misalkan x sebarang titik lain disana. Fungsi H memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rataan pada interval tertutup dengan titik-titik ujung X₁dan x. Jadi terdapat sebuah bilangan c di antara X₁dan x sedemikian rupa sehingga :

H(x) – H(x₁) = H’(c)(x – x₁) Tetapi menurut hipotesis  H’(c) = 0. Karena itu H(x) - H(x₁) = 0 atau H(x) = H(x₁) untuk semua x dalam (a, b). Karena H(x) = F(x) – G(x), kita simpulkan bahwa F(x) – G(x) = H(x₁). Sekarang misalkan C = H(x₁) , dan kita mempunyai kesimpulan F(x) = G(x) + C

3.7 Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik

Alogaritma Metode Bagi-Dua

Misalkan f(x) adalah fungsi kontinu, dan misalkan a₁ dan b₁adalah bilangan yang memenuhi a_1< b₁dan f(a₁) . f(b₁) < 0. Misalkan E menyatakan batas yang diinginkan untuk galat

│r - m_n │. Ulangi langkah 1 sampai 5 untuk n = 1, 2, 3, ... hingga h_n < E :

1.      Hitung m_n= (a_n + b_n)/2

2.      Hitung f(m_n)dan jika f(m_n) = 0, kemudian BERHENTI

3.      Hitung h_n= (b_n- a_n)/2

4.      Hitung f(a_n) . f(m_n)< 0, tetapkan a_{n+1 =} a_ndan b_n+1 = m_n

5.      Hitung f(a_n) . f(m_n)> 0, tetapkan a_{n+1 =} m_n dan b_n+1 = b_n

Alogaritma Metode Newton

Misalkan f(x) adalah fungsi terdiferensiasikan dan misalkan x₁ adalah aproksimasi awal terhadap akar r dari f(x) = 0. Misalkan E menyatakan batas untuk galat │r - x_n │. Ulangi langkah berikut untuk n = 1, 2, 3, ... hingga │x_n+1 - x_n │<  E : x_n+1= x_n-

Alogaritma Titik-Tetap

Misalkan g(x) adalah fungsi kontinu, dan misalkan x₁ adalah aproksimasi awal terhadap akar r dari x = g(x). Misalkan E menyatakan batas untuk galat │r - x_n │. Ulangi langkah berikut untuk n = 1, 2, 3, ... hingga │x_n+1 - x_n │< E : x_n+1 = g(x_n )

3.8 Anti Turunan

Definisi :

Kita sebut F suatu anti-turunan f  pada interval I  jika DxF(x) = f(x) pada I, yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I.

Teorema AAturan Pangkat

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka ∫ X^rdx =  + C

Teorema B

∫sin x dx = -cos x + C dan ∫cos x dx = sin x + C

Teorema C Integral Tak-Tentu adalah Operator Linear

Misalkan f dan g  mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan misalkan k suatu konstanta. Maka

(i)                ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx;

(ii)             ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx;

(iii)           ∫[f(x) -  g(x)] dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx;

Teorema D  Aturan Pangkat yang Digeneralisir

Misalkan g suatu fungsi yang dapat di diferensiasi dan r suatu bilangan  rasional yang bukan -1. Maka ∫ [g(x)] ^rg’(x) dx =  + C

3.9 Pendahuluan Persamaan Diferensial

Persamaan dengan nilai tak diketahui (unknown) berupa suatu fungsi yang melibatkan turunan (diferensiasi) dari fungsi yang tidak diketahui ini disebut persamaan diferensial. Fungsi, yang ketika disubtitusikan dalam persamaan diferensial menghasilkan identitas, disebut penyelesaian persamaan diferensial. Jadi, menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui. Umumnya, ini adalah tugas yang sukar dan yang telah dituliskan dalam banyak buku tebal. Disini kita hanya meninjau kasus yang paling sederhana, yakni persaamaan diferensial tingkat saru yang terpisahkan. Ini adalah persamaan-persamaan yang hanya melibatkan turunan pertama dari fungsi yang tidak diketahui dan sedemikian rupa sehingga variabel-variabel dapat dipisahkan, satu pada masing-masing ruas persamaan.

Masalah Gerak Ingat kembali bahwa jika s(t), v(t), dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat.

Kalkulus 1 Bab 2 Turunan

BAB 2 TURUNAN

2.1 Dua Masalah dengan Satu Tema

Garis singgung : gagasan Euclides tentang garis singgung sebagai garis yang menyentuh suatu kurva hanya pada satu titik, tetapi sama sekali tidak memuaskan untuk kebanyakan kurva lain. Gagasan bahwa garis singgung pada suatu kurva P sebagai garis yang paling baik mengaproksimasi kurva dekat P adalah lebih baik, tetapi masih tetap agak samar untuk kecermatan matematis.

Definisi Garis Singgung

Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik P(c,f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan m_tan = m_sec =   limit ≠ ∞, -∞

Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat

Kecepatan Rata-rata adalah jarak dari posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh. Sedangkan, kecepatan sesaar adalah kecepatan yang singkat dan pendek, semakin baik kita mengaproksimasikan kecepatan sesaat pada saat t=1.

Definisi Kecepatan Sesaat

Jika benda bergerak di sepanjang garis koodinat dengan fungsi posisi f(t).

2.2 Turunan

Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah : f(c) =   limit ≠ ∞, -∞

Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa fterdiferensiasi di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi, bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.

Teorema A Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas

Jika f’(c) ada maka f kontinu di c.

Grafik Turunan turunan f’(x) memberikan kemiringan garis singgung terhadap grafik y = f(x)pada nilai x. Jadi ketika garis singgung miring naik ke kanan, turunan positif, dan ketika garis singgung miring turun ke kiri, turunan negatif. Karenanya kita dapat memperoleh gambaran kasar dari turunan hanya dengan diketahui grafik fungsi.

2.3 Aturan Pencarian Turunan

Teorema A Aturan Fungsi Konstanta

Jika f(x) = k; dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f’(x) = 0; yakni, Dx (k) =0

Teorema B Aturan Fungsi Satuan

Jika f(x) = x; maka f’(x) = 1; yakni, Dx (x) = 1

Teorema C Aturan Pangkat

Jika f(x) = xⁿ, dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x) = nx^n-1 yakni, Dx(xⁿ) = nx^n-1

Teorema DAturan Kelipatan Konstanta

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasi, maka (kf)’(x) = k . f”(x) yakni, Dx [k . f(x)] = k . Dxf(x)

Teorema EAturan Jumlah

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi, maka (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x) yakni, Dx[f(x) + g(x)] = Dx f(x) + Dx g(x)

Teorema FAturan Selisih

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi, maka (f - g)’(x) = f’(x) - g’(x) yakni, Dx[f(x) - g(x)] = Dx f(x) - Dx g(x)

Teorema G Aturan Hasil Kali

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi, maka (f . g)’(x) = f(x)g’(x)+g(x)f’(x) yakni, Dx[f(x) . g(x)] = f(x)Dxg(x) + g(x)Dxf’(x)

2.4 Turunan Fungsi Trigonometri            

Teorema A : Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensiasi, dan

Dx(sin x) = cos x , Dx(cos x) = -sin x

Contoh : Cari Dx(3 sin x – 2 cos x).

Penyelesaian : Dx(3 sin x – 2 cos x) = 3Dx(sin x) – 2Dx(cos x) = 3 cos x + 2 sin x

Teorema B :

Untuk semua titik x di dalam daerah asal fungsi,

Dx tan x = sec²x

Dx sec x = sec x tan x

Dx cot x = -csc²x

Dx csc x = -csc x cot x

Contoh : Carilah Dx (xn tan x) untuk n ≥ 1.

Penyelesaian : Terapkan Aturan Hasil kali bersama dengan Teorema B

Dx(xn tan x) = xⁿ Dx(tan x) + tan x (DxXⁿ) = x² sec² x + nx^n-1 tan x

 2.5 Aturan Rantai

Teorema A Aturan Rantai

Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasi di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposisi f _o g, yang didefinisikan oleh (f _o g) (x) = f(g(x)), adalah terdiferensiasi di x  . yakni : (f _o g)’(x) = f’(g(x)) g’(x)

Atau Dx(f(g(x))) = f’(g(x)) g’(x),atau =

2.6 Turunan Tingkat Tinggi

Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f  dan menghasilkan sebuah fungsi baru f’. Jika f’ sekarang kita diferensiasikan, kita masih tetap menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh f’ (dibaca “f aksen” ) dan disebut Turunan Kedua dari f. Pada gilirannya dia boleh di diferensiasikan lagi, dengan demikian menghasilkan f’’ , yang disebut Turunan Ketiga dari f. Turunan Keempat dinyatakan f⁽⁴⁾, dan seterusnya.

Sebagai contoh f(x) = 2x² – 4x² + 7x - 8 

Maka, f’(x) = 6x2 – 8x + 7

f’’(x) = 12x – 8

f’’’(x) = 12

f⁽⁴⁾ = 0

Karena turuna fungsi nol adalah nl, maka turunan keempat dan semua turunan tingkat yang lebih tinggi dari f akan nol.

Turunan Pertama = f’(x)  Dx(y)

Turunan Kedua = f’’(x) D²xy

Turunan Ketiga = f’’’(x D³xy

2.7 Diferensial Implisit

Teorema A Aturan Pangkat

Misalkan r sebarang bilangan rasional. Maka untuk x > 0, Dx(x^r) = rx^r-1

Jika r dapat dituliskan dalam suku terendah sebagai r = p/q, dimana q ganjil maka Dx(x^r) = rx^r-1 untuk semua x.

2.8 Laju yang Berkaitan

Jika suatu variabel y bergantung pada waktu t, maka turunannya dy/dt disebut Laju Perubahan Sesaat. Tentu saja, jika y mengukur jarak, maka laju sesaat ini disebut kecepatan. Kita tertarik pada beraneka laju sesaat, laju air mengalir ke dalam ember, laju membesarnya luas pencemaran minyak, laju bertambahnya nilai kampling tanah, dan lainnya. Jika y diberikan secara eksplisit dalam t, maka masalahnya sederhana; kita cukup mendiferensiasikan dan kemudian menghitung turunan pada saat yang diminta.

Prosedur Sistematis :

Langkah 1 Misal t menyatakan waktu yang terlalui. Gambarkan sebuah diagram yang berlaku untuk semua t > 0. Beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bela t bertambah dengan nilai-nilai konstantanya yang diketahui. Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai dengan t, dan beri pengenal bagian-bagian gambar yang sesuai dengan variabel-variabel ini.

Langkah 2 Nyatakan apa yang diketahui dan apa yang diinginkan tentang variabel-variabel tersebut. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap variabel t.

Langkah 3 Hubungkan variabel-variabel dengan menuliskan persamaan yang valid untuk semua waktu t > 0, bukan hanya pada saat tertentu.

Langkah 4  Diferensiasikan secara implisit persamaan yang ditemukan dalam Langkah 3 terhadap t. Persamaan yang dihasilkan, memuat turunan-turunan terhadap t, benar untuk semua t > 0.

Langkah 5 Pada tahap ini, bukan lebih dini, substitusikan kedalam persamaan yang ditemukan dalam Langkah 4 semua data yang sahih pada saat tertentu seperti yang diperlukan untuk jawaban soal. Pecahkan untuk turunan yang diinginkan.

2.9 Diferensial dan Aproksimasi

Definisi Diferensial: Misalkan y = f(x) adalah fungsi terdiferensiasi dari variabel bebas x. ∆x adalah pertambahan sebarang dalam variabel bebas x dx, disebut Diferensial Variabel Bebas x, adalah sama dengan ∆x.

∆y adalah perubahan sebenarnya dalam variabel bebas y ketika x berubah dari x ke x + ∆x; yakni y = f(x + ∆x) – f(x). Dy disebut Diferensial Variabel Tak Bebas y, didefinisikan oleh dy  =  f’(x)dx.

AproksimasiDiferensial akan memainkan beberapa peranan dalam blog ini, tetapi untuk sekarang penggunaan utamanya adalah dalam penyediaan aproksimasi. Kita lebih menunjuk hal ini sebelumnya.

Aproksimasi Linear jika f  terdiferensiasi di a, maka dari bentuk kemiringan titik suatu garis, yaitu garis singgung terhadap  f  pada (a, f(a)) diberikan oleh y = f(a) + f’(a)(x – a). Fungsi L(x) = f(a) + f’(a)(x – a)  disebut Aproksimasi Linear terhadap fungsi f  pada a, dan dia sering merupakan aproksimasi yang sangat bagus terhadap f  ketika x dekat ke a.