Kalkulus 1 Bab 2 Turunan

BAB 2 TURUNAN

2.1 Dua Masalah dengan Satu Tema

Garis singgung : gagasan Euclides tentang garis singgung sebagai garis yang menyentuh suatu kurva hanya pada satu titik, tetapi sama sekali tidak memuaskan untuk kebanyakan kurva lain. Gagasan bahwa garis singgung pada suatu kurva P sebagai garis yang paling baik mengaproksimasi kurva dekat P adalah lebih baik, tetapi masih tetap agak samar untuk kecermatan matematis.

Definisi Garis Singgung

Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik P(c,f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan m_tan = m_sec =   limit ≠ ∞, -∞

Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat

Kecepatan Rata-rata adalah jarak dari posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh. Sedangkan, kecepatan sesaar adalah kecepatan yang singkat dan pendek, semakin baik kita mengaproksimasikan kecepatan sesaat pada saat t=1.

Definisi Kecepatan Sesaat

Jika benda bergerak di sepanjang garis koodinat dengan fungsi posisi f(t).

2.2 Turunan

Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah : f(c) =   limit ≠ ∞, -∞

Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa fterdiferensiasi di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi, bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.

Teorema A Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas

Jika f’(c) ada maka f kontinu di c.

Grafik Turunan turunan f’(x) memberikan kemiringan garis singgung terhadap grafik y = f(x)pada nilai x. Jadi ketika garis singgung miring naik ke kanan, turunan positif, dan ketika garis singgung miring turun ke kiri, turunan negatif. Karenanya kita dapat memperoleh gambaran kasar dari turunan hanya dengan diketahui grafik fungsi.

2.3 Aturan Pencarian Turunan

Teorema A Aturan Fungsi Konstanta

Jika f(x) = k; dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f’(x) = 0; yakni, Dx (k) =0

Teorema B Aturan Fungsi Satuan

Jika f(x) = x; maka f’(x) = 1; yakni, Dx (x) = 1

Teorema C Aturan Pangkat

Jika f(x) = xⁿ, dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x) = nx^n-1 yakni, Dx(xⁿ) = nx^n-1

Teorema DAturan Kelipatan Konstanta

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasi, maka (kf)’(x) = k . f”(x) yakni, Dx [k . f(x)] = k . Dxf(x)

Teorema EAturan Jumlah

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi, maka (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x) yakni, Dx[f(x) + g(x)] = Dx f(x) + Dx g(x)

Teorema FAturan Selisih

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi, maka (f - g)’(x) = f’(x) - g’(x) yakni, Dx[f(x) - g(x)] = Dx f(x) - Dx g(x)

Teorema G Aturan Hasil Kali

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi, maka (f . g)’(x) = f(x)g’(x)+g(x)f’(x) yakni, Dx[f(x) . g(x)] = f(x)Dxg(x) + g(x)Dxf’(x)

2.4 Turunan Fungsi Trigonometri            

Teorema A : Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensiasi, dan

Dx(sin x) = cos x , Dx(cos x) = -sin x

Contoh : Cari Dx(3 sin x – 2 cos x).

Penyelesaian : Dx(3 sin x – 2 cos x) = 3Dx(sin x) – 2Dx(cos x) = 3 cos x + 2 sin x

Teorema B :

Untuk semua titik x di dalam daerah asal fungsi,

Dx tan x = sec²x

Dx sec x = sec x tan x

Dx cot x = -csc²x

Dx csc x = -csc x cot x

Contoh : Carilah Dx (xn tan x) untuk n ≥ 1.

Penyelesaian : Terapkan Aturan Hasil kali bersama dengan Teorema B

Dx(xn tan x) = xⁿ Dx(tan x) + tan x (DxXⁿ) = x² sec² x + nx^n-1 tan x

 2.5 Aturan Rantai

Teorema A Aturan Rantai

Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasi di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposisi f _o g, yang didefinisikan oleh (f _o g) (x) = f(g(x)), adalah terdiferensiasi di x  . yakni : (f _o g)’(x) = f’(g(x)) g’(x)

Atau Dx(f(g(x))) = f’(g(x)) g’(x),atau =

2.6 Turunan Tingkat Tinggi

Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f  dan menghasilkan sebuah fungsi baru f’. Jika f’ sekarang kita diferensiasikan, kita masih tetap menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh f’ (dibaca “f aksen” ) dan disebut Turunan Kedua dari f. Pada gilirannya dia boleh di diferensiasikan lagi, dengan demikian menghasilkan f’’ , yang disebut Turunan Ketiga dari f. Turunan Keempat dinyatakan f⁽⁴⁾, dan seterusnya.

Sebagai contoh f(x) = 2x² – 4x² + 7x - 8 

Maka, f’(x) = 6x2 – 8x + 7

f’’(x) = 12x – 8

f’’’(x) = 12

f⁽⁴⁾ = 0

Karena turuna fungsi nol adalah nl, maka turunan keempat dan semua turunan tingkat yang lebih tinggi dari f akan nol.

Turunan Pertama = f’(x)  Dx(y)

Turunan Kedua = f’’(x) D²xy

Turunan Ketiga = f’’’(x D³xy

2.7 Diferensial Implisit

Teorema A Aturan Pangkat

Misalkan r sebarang bilangan rasional. Maka untuk x > 0, Dx(x^r) = rx^r-1

Jika r dapat dituliskan dalam suku terendah sebagai r = p/q, dimana q ganjil maka Dx(x^r) = rx^r-1 untuk semua x.

2.8 Laju yang Berkaitan

Jika suatu variabel y bergantung pada waktu t, maka turunannya dy/dt disebut Laju Perubahan Sesaat. Tentu saja, jika y mengukur jarak, maka laju sesaat ini disebut kecepatan. Kita tertarik pada beraneka laju sesaat, laju air mengalir ke dalam ember, laju membesarnya luas pencemaran minyak, laju bertambahnya nilai kampling tanah, dan lainnya. Jika y diberikan secara eksplisit dalam t, maka masalahnya sederhana; kita cukup mendiferensiasikan dan kemudian menghitung turunan pada saat yang diminta.

Prosedur Sistematis :

Langkah 1 Misal t menyatakan waktu yang terlalui. Gambarkan sebuah diagram yang berlaku untuk semua t > 0. Beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bela t bertambah dengan nilai-nilai konstantanya yang diketahui. Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai dengan t, dan beri pengenal bagian-bagian gambar yang sesuai dengan variabel-variabel ini.

Langkah 2 Nyatakan apa yang diketahui dan apa yang diinginkan tentang variabel-variabel tersebut. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap variabel t.

Langkah 3 Hubungkan variabel-variabel dengan menuliskan persamaan yang valid untuk semua waktu t > 0, bukan hanya pada saat tertentu.

Langkah 4  Diferensiasikan secara implisit persamaan yang ditemukan dalam Langkah 3 terhadap t. Persamaan yang dihasilkan, memuat turunan-turunan terhadap t, benar untuk semua t > 0.

Langkah 5 Pada tahap ini, bukan lebih dini, substitusikan kedalam persamaan yang ditemukan dalam Langkah 4 semua data yang sahih pada saat tertentu seperti yang diperlukan untuk jawaban soal. Pecahkan untuk turunan yang diinginkan.

2.9 Diferensial dan Aproksimasi

Definisi Diferensial: Misalkan y = f(x) adalah fungsi terdiferensiasi dari variabel bebas x. ∆x adalah pertambahan sebarang dalam variabel bebas x dx, disebut Diferensial Variabel Bebas x, adalah sama dengan ∆x.

∆y adalah perubahan sebenarnya dalam variabel bebas y ketika x berubah dari x ke x + ∆x; yakni y = f(x + ∆x) – f(x). Dy disebut Diferensial Variabel Tak Bebas y, didefinisikan oleh dy  =  f’(x)dx.

AproksimasiDiferensial akan memainkan beberapa peranan dalam blog ini, tetapi untuk sekarang penggunaan utamanya adalah dalam penyediaan aproksimasi. Kita lebih menunjuk hal ini sebelumnya.

Aproksimasi Linear jika f  terdiferensiasi di a, maka dari bentuk kemiringan titik suatu garis, yaitu garis singgung terhadap  f  pada (a, f(a)) diberikan oleh y = f(a) + f’(a)(x – a). Fungsi L(x) = f(a) + f’(a)(x – a)  disebut Aproksimasi Linear terhadap fungsi f  pada a, dan dia sering merupakan aproksimasi yang sangat bagus terhadap f  ketika x dekat ke a.