Kalkulus 1 Bab 3 Aplikasi Turunan

BAB 3 Aplikasi Turunan

3.1 Maksimum dan Minimum

Definisi : Misalkan S, daerah asal f, mengandung titik c. Dinyatakan bahwa :

(i)                             f(c) adalah nilai maksimum f  pada S jika f(c) ≥  f(x) untuk semua x di S;

(ii)                           f(c) adalah nilai minimum f  pada S f(c) ≤  f(x) untuk semua x di S;

(iii)                         f(c) adalah nilai ekstrimf  pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

(iv)                         fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif;

Teorema A Teorema Keberadaan Maks-Min

Jika f  kontinu pada interval tertutup [a, b]. Maka f  mencapai nilai maksimum dan nilai minimum disana.

Teorema B Teorema Titik Kritis

Misalkan f  didefinisikan pada interval. I  yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah nerupa satu titik kritis; dengan kata lain, c adalah salah satu dari

(i)                             titik ujung dari I

(ii)                           titik stasioner dari f; yakni titik dimana f’(c) = 0; atau

(iii)                         titik singular dari f; yakni titik dimana f’(c) tidak ada.

3.2 Kemotongan dan Kecekungan 

Definisi : Misalkan f  terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun).Kita katakan bahwa :

(i)                             f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I. x₁ <x₂→ f(x₁ ) <f (x₂₎

(ii)                           f turunpada I jika, untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I. x₁ < x₂ → f(x₁ ) >f (x₂₎

(iii)                         f monoton murnipada I jikaf naik pada I atau turun pada I.

Teorema A Teorema Kemonotongan 
Misalkan f kontinu pada interval I dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I.

(i)                             Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam I , maka f naikpada I.

(ii)                           Jika f’(x) <0 untuk semua titik dalam I , maka f  turunpada I.

 
Definisi : Misalkan f  terdiferensiasi pada interval terbuka I. Kita katakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas  pada I  jika f’ menaik pada I dan kita katakan bahwa f  cekung ke bawah pada I jika f’ menurun pada I. 

Teorema B Teorema Kecekungan

Misalkan f  terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka I.

(i)                             Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.

(ii)                           Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.

3.3 Ekstrim Lokal dan Ekstrim pada Interval Terbuka

      Definisi Misalkan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa :

(i)                             f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai maksimum f  pada (a, b) ∩ S;

(ii)                           f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai minimumf  pada (a, b) ∩ S;

(iii)                         f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Teorema AUji Turunan Pertama

Misalkan f  kontinu pada interval terbuka (a, b) yang memuat sebuah titik kritis c.

(i)                             Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii)                           Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x)> 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

(iii)                         Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B Uji Turunan Kedua

Misalkan f’  dan f’’ ada pada setiap titik interval terbuka (a, b) yang memuat c, dapat misalkam f’(c) = 0

(i)                             Jika f’(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii)                           Jika f’(c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

3.5 Penggambaran Grafik Fungsi Menggunakan Kalkulus

Fungsi Polinmial polinomial derajat 1 atau 2 mudah digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya sedang, misalnya 3 sampai 6, kita akan sangat terbantu oleh alat-alat dari kalkulus

Fungsi Rasional Fungsi Rasional, yang merupakan hasil bagi dua fungsi polinomial, agak lebih rumit untuk digambarkan grafiknya dibanding polinomial. Khususnya, kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dekat tempat penyebut akan bernilai nol.

Fungsi yang Melibatkan Akar Terdapat beraneka ragam fungsi yang melibatkan akar.

Ringkasan Metode Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu .

Langkah 1 : Analisis praKalkulus,

(i)                             Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan;

(ii)                           Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi itu genap atau ganji);

(iii)                         Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

Langkah 2 : Analisis Kalkulus

(i)                             Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan membantu mengetahui tempat-tempat grafik menaik dan menurun;

(ii)                           Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal.

(iii)                         Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung ke bawah dan untuk mengalokasikan titik balik.

(iv)                         Cari asimtot-asimtot

3.6 Teorema Nilai Rataan Untuk Turunan

Teorema A Teorema Nilai Rataan untuk Turunan

Jika f  kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensiasikan pada titik dalamnya (a, b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a, b) dimana atau setara denganf(b) – f(a) = f’(c) (b – a)

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian rupa sehingga F’(x) = G’(x) + c untuk semua x dalam (a, b)

Bukti Misalkan H’(x) = F’(x) – G’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b). Pilih X₁sebagai suatu titik (tetap) dalam (a, b) dan misalkan x sebarang titik lain disana. Fungsi H memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rataan pada interval tertutup dengan titik-titik ujung X₁dan x. Jadi terdapat sebuah bilangan c di antara X₁dan x sedemikian rupa sehingga :

H(x) – H(x₁) = H’(c)(x – x₁) Tetapi menurut hipotesis  H’(c) = 0. Karena itu H(x) - H(x₁) = 0 atau H(x) = H(x₁) untuk semua x dalam (a, b). Karena H(x) = F(x) – G(x), kita simpulkan bahwa F(x) – G(x) = H(x₁). Sekarang misalkan C = H(x₁) , dan kita mempunyai kesimpulan F(x) = G(x) + C

3.7 Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik

Alogaritma Metode Bagi-Dua

Misalkan f(x) adalah fungsi kontinu, dan misalkan a₁ dan b₁adalah bilangan yang memenuhi a_1< b₁dan f(a₁) . f(b₁) < 0. Misalkan E menyatakan batas yang diinginkan untuk galat

│r - m_n │. Ulangi langkah 1 sampai 5 untuk n = 1, 2, 3, ... hingga h_n < E :

1.      Hitung m_n= (a_n + b_n)/2

2.      Hitung f(m_n)dan jika f(m_n) = 0, kemudian BERHENTI

3.      Hitung h_n= (b_n- a_n)/2

4.      Hitung f(a_n) . f(m_n)< 0, tetapkan a_{n+1 =} a_ndan b_n+1 = m_n

5.      Hitung f(a_n) . f(m_n)> 0, tetapkan a_{n+1 =} m_n dan b_n+1 = b_n

Alogaritma Metode Newton

Misalkan f(x) adalah fungsi terdiferensiasikan dan misalkan x₁ adalah aproksimasi awal terhadap akar r dari f(x) = 0. Misalkan E menyatakan batas untuk galat │r - x_n │. Ulangi langkah berikut untuk n = 1, 2, 3, ... hingga │x_n+1 - x_n │<  E : x_n+1= x_n-

Alogaritma Titik-Tetap

Misalkan g(x) adalah fungsi kontinu, dan misalkan x₁ adalah aproksimasi awal terhadap akar r dari x = g(x). Misalkan E menyatakan batas untuk galat │r - x_n │. Ulangi langkah berikut untuk n = 1, 2, 3, ... hingga │x_n+1 - x_n │< E : x_n+1 = g(x_n )

3.8 Anti Turunan

Definisi :

Kita sebut F suatu anti-turunan f  pada interval I  jika DxF(x) = f(x) pada I, yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I.

Teorema AAturan Pangkat

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka ∫ X^rdx =  + C

Teorema B

∫sin x dx = -cos x + C dan ∫cos x dx = sin x + C

Teorema C Integral Tak-Tentu adalah Operator Linear

Misalkan f dan g  mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan misalkan k suatu konstanta. Maka

(i)                ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx;

(ii)             ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx;

(iii)           ∫[f(x) -  g(x)] dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx;

Teorema D  Aturan Pangkat yang Digeneralisir

Misalkan g suatu fungsi yang dapat di diferensiasi dan r suatu bilangan  rasional yang bukan -1. Maka ∫ [g(x)] ^rg’(x) dx =  + C

3.9 Pendahuluan Persamaan Diferensial

Persamaan dengan nilai tak diketahui (unknown) berupa suatu fungsi yang melibatkan turunan (diferensiasi) dari fungsi yang tidak diketahui ini disebut persamaan diferensial. Fungsi, yang ketika disubtitusikan dalam persamaan diferensial menghasilkan identitas, disebut penyelesaian persamaan diferensial. Jadi, menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui. Umumnya, ini adalah tugas yang sukar dan yang telah dituliskan dalam banyak buku tebal. Disini kita hanya meninjau kasus yang paling sederhana, yakni persaamaan diferensial tingkat saru yang terpisahkan. Ini adalah persamaan-persamaan yang hanya melibatkan turunan pertama dari fungsi yang tidak diketahui dan sedemikian rupa sehingga variabel-variabel dapat dipisahkan, satu pada masing-masing ruas persamaan.

Masalah Gerak Ingat kembali bahwa jika s(t), v(t), dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat.