Kalkulus 1 Bab 1 Limit

BAB 1 LIMIT

1.1  Pendahuluan Limit

Konsep limit adalah pusat dalam banyak masalah di fisika, rekayasa, dan ilmu sosial. Secara mendasar pernyataannya adalah : apa yang terjadi pada fungsi f(x)ketika x semakin mendekati suatu konstanta c?

Definisi : Maka Limit secara Intuisi , untuk mengatakan bahwa , berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.

Contoh : Carilah  (4x – 5)

Penyelesaian : ketika x dekat 3; maka 4x – 5 dekat terhadap 4 . 3 – 5 = 7. Dituliskan :  (4x – 5) = 7

Limit-limit Satu-Sisi ketika suatu fungsi mempunyai lompatan (seperti halnya ║x║ pada setiap bilangan bulat. Maka, limit tidak ada pada setiap titik lompatan . Fungsi-fungsi yang demikian menyarankan perkenalan tentang limit-limit satu sisi (one sided limits). Misalkan lambang  c⁺bermakna bahwa x mendekati c dari kanan, dan  c^- bermakna bahwa x mendekati c dari kiri.

Definisi : Limit Kiri dan Limit Kanan, untuk mengatakan bahwa f(x) = L berarti bahwa ketika x dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) dekat ke-L. Demikian pula, untuk mengatakan bahwa f(x) = L berarti bahwa ketika x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) adalah dekat ke-L.

Teorema A : f(x) = L jika dan hanya jika f(x) = L dan f(x) = L

1.2  Pengkajian Mendalam Tentang Limit

Dalam subbab ini mngatakan bahwa f(x) = L bermakna bahwa f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L asalkan x cukup dekat, tetapi tidak sama dengan c.

Definisi : Pengertian Presisi Limit, menyatakan bahwa untuk tiap ε > 0 yang diberikan (betapa pun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga │f(x) - L│< ε asalkan bahwa 0 < │x – c │< δ; yakni, 0 <  │x – c │< δ → │f(x) - L│< ε

Contoh : Buktikan bahwa (3x – 7) = 5

Penyelesaian : 0 <  │x – 4│< δ → │(3x – 7) - 5│< ε

pandang pertidaksamaan disebelah kanan :

│(3x – 7) - 5│< ε ↔ │(3x – 12│< ε

↔│3(x – 4)│<ε

↔│3││x – 4│<ε

↔│x – 4│<ε/3

Sekarang dapat dilihat bagaimana memilih δ, yakni δ = ε/3, tentu saja sebarang δ yang lebih kecil akan memenuhi.

Bukti Formal : Misalkan diberikan ε> 0. Pilih δ = ε/3. Maka 0 <│x – 4│< δmengimplisikan│(3x – 7) - 5│= │(3x – 12│ = │3(x – 4)│ = 3 │x – 4│< 3δ = ε

Jika dibaca rangkaian pertidaksamaan dan sebuah identitas ini dari kiri ke kanan dan gunakan sifat transitif dari = dan <, dilihat bahwa │(3x – 7) - 5│<ε

Definisi : Limit Kanan, mengatakan f(x) = L berarti bahwa untuk setiap ε> 0, terdapat δ > 0 yang berpadan sedemikian rupa sehingga :

0 < x – c < δ → │(f(x) – L │<ε

1.3  Teorema Limit

Teorema A : Teorema Limit Utama

1.       k = k;

2.       kf(x) = k f(x);

3.       x= c;

4.      │f(x) + g(x)│= f(x) + g(x)

5.      │f(x) -  g(x)│= f(x) - g(x)

6.      │f(x) .  g(x)│= f(x) . g(x)

Teorema B : Teorema Subtitusi

Jika f  fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka f(x) = f(c) asalkan f(c) terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional, ini bermakna bahwa nilai penyebut pada c tidak nol.

Teorema C :Jika f(x) = g(x) untuk semua x di dalam suatu interval terbuka yang mengandung bilangan c, terkecuali mungkin pada bilangan c sendiri, dan jika g(x) ada, maka f(x) ada dab f(x) =  g(x)

Teorema D : Teorema Apit

Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat c, terkecuali mungkin pada c. Jika f(x)= h(x)= L maka g(x)= L

1.4  Limit Melibatkan Fungsi Trigonometri

Teorema A :Limit Fungsi Trigonometri

1.      sin t = sin c

2.      cos t = cos c

3.      tan t = tan c

4.      cot t = cot c

5.      sec t = sec c

6.      csc t = csc c

1.5  Limit Tak Hingga; Limit Tak Berhingga

Definisi : Limit ketika x → ∞

Misalkakan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk suatu bilangan c. Kita katatakan bahwa f(x)= Ljika untuk masing-masing ε> 0 terdapat bilangan Myang berpadanan sedemikian rupa sehingga : x >M → │(f(x) – L │<ε

Definisi : Limit ketika x → -∞

Misalkakan f terdefinisi pada (-∞, c] untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa f(x)= L jika untuk masing-masing ε> 0 terdapat bilangan Myang berpadanan sedemikian rupa sehingga : x <M → │(f(x) – L │<ε

Definisi Limit Barisan

Misalkan a_nterdefinisi untuk semua bilangan asli yang lebih besar dari pada atau sama dengan suatu bilangan c. Kita katakan bahwa a_n = L, jika untuk masing-masing ε> 0 terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian rupa sehingga :

n > M → │a_n – L │<ε

Limit barisan Daerah asal untuk beberapa fungsi adalah himpunan bilangan asli {1, 2, 3, . . . } dalam situasi ini biasanya dituliskan a_ndibandingkan menulis a (n) untuk menyatakan suku ke – n, atau {a_n} untuk menyatakan seluruh barisan. Contoh : kita dapat mendefinisikan barisan a_n= n/(n + 1). Marilah kita tinjau apa yang terjadi ketika n menjadi besar. Sedikit perhitungan memperlihatkan bahwa :

a₁ = ,  a₂ = ,  a₃ = ,  a₄ = ,  ......, a₁₀₀ = ,

dapat dilihat bahwa nilai nilai ini mendekati 1, sehingga nampaknya beralasan untuk mengatakan bahwa untuk barisan ini a_n = 1. Definisi berikutnya memberikan makna terhadap pemikiran tentang limit sebuah barisan ini.

1.6  Kontinuitas Fungsi

Kata kontinu menyatakan proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak.

Definisi : Kontinuitas di satu titik

Misalkan f  teedefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c. Kita katakan bahwa f kontinu di c jika : f(x) = f(c)

Dengan definisi ini bermaksud menyaratkan tiga hal :

1.      f(x) ada,

2.      f(c)ada, (yakni c berada dalam derah asal f),

Teorema A Kontinuitas Fungsi Polinomial dan Rasional

Fungsi polinomial kontinu di setiap bilangan real C. Fungsi rasional kontinu disetiap bilangan real c dalam daerah asalnya, yaitu kecuali dimana penyebutnya nol.

Teorema B Kontinuitas Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Akar ke-n

Fungsi nilai mutlak adalah kontinu disetiap bilangan real c. Jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu disetiap bilangan real c. Jika n genap, fungsi akar ke-n kontinu disetiap bilangan real positif c.

Teorema C Kontinuitas di dalam Operasi Fungsi

Jika f dan gkontinu di c, maka demikian juga kf, f + g, f – g , f . g, f/g (asalkan g(c) ≠ 0, fⁿdan f (asalkan f(c)> 0 jika n genap).

Teorema D Kontinuitas Fungsi-fungsi Trigonometri

Fungsi sinus dan kosinus kontinu disetiap bilangan real c. Fungsi tax x, cot c, sec x, dan csc x kontinu disetiap bilangan real c dalam daerah asalnya.

Teorema E Teorema Limit Komposit

g(x)= Ldan jika f kontinu di L, maka : f( g(x)) =f( L)

Khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka fungsi komposit f . g

Definisi Kontinuitas Pada Interval

Fungsi fadalah kontinu kanan pada a jika f(x)= f(a) dan kontinu kiri pada b jika f(x) = f(b). Kita katakan, fkontinu pada suatu interval terbuka jika f kontinu pada setiap titik dari interval tersebut. Dia kontinu pada sebuah interval tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan pada a, dan kontinu kiri pada b.

Teorema F Teorema Nilai Antara

Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan misalkan W bilangan antara f(a) dan f(b). Jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat paling sedikit sebuah bilangan c diantara a dan b sedemikian rupa sehingga f(c) = W